पूर्णांकों का योग एवं व्यवकलन

पूर्णांक में पूर्ण संख्याएँ (whole numbers) और उनके विपरीत (opposites) सम्मिलित होते हैं: @$\begin{align*}\{... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …\}.\end{align*}@$जब हम पूर्णांकों के साथ कार्य करते हैं, तो हम धनात्मक (positive) और ऋणात्मक (negative) दोनों संख्याओं के साथ काम करते हैं।

पिछली कक्षा में, हमने पूर्ण संख्याओं की संक्रियाएँ (Operations) और उनके गुणधर्म पढ़े थे। इस पाठ में हम पूर्णांकों के योग और घटाव तथा उनके गुणधर्म सीखेंगे।  

पूर्णांकों को जोड़ने के नियम

पूर्णांकों का जोड़ना एक सरल प्रक्रिया है। मूल नियमों का पालन करें, और हर बार सही उत्तर मिलेगा। पूर्णांकों को जोड़ते समय दो स्थितियाँ होती हैं।

प्रकरण 1: समान चिह्न वाले पूर्णांकों का जोड़

• योज्यों के निरपेक्ष मान (absolute value) को जोड़ें। 
• योग के लिए वही चिह्न लें जो योज्यों का है। 

1) @$\begin{align*}+3\end{align*}@$ और @$\begin{align*}+5\end{align*}@$ को जोड़िए। @$$\begin{align*}(+3)+(+5) & = [ \ |3| + |5| \ ] \\ & = [ \ 3 + 5 \ ] \\ & = 8\end{align*}@$$2) @$\begin{align*}-4\end{align*}@$ और @$\begin{align*}-6\end{align*}@$ को जोड़िए।  @$$\begin{align*}(-4) + (-6) & = - [ \ |4| + |6| \ ] \\ & = - [ \ 4 + 6 \ ] \\ & = -10\end{align*}@$$

प्रकरण 2: भिन्न (असमान) चिह्न वाले पूर्णांकों का जोड़ 

• जिस योज्य का निरपेक्ष मान कम हो, उसे बड़े निरपेक्ष मान वाले योज्य से घटाएँ। 
• योग का चिह्न बड़े निरपेक्ष मान वाले योज्य का होगा।  

3) @$\begin{align*}-14\end{align*}@$ और @$\begin{align*}+21\end{align*}@$ को जोड़िए।@$$\begin{align*}(-14) +21 & = [ \ |21| - |-14| \ ] \\ & = [ \ 21 - 14 \ ] \\ & = 7\end{align*}@$$4) @$\begin{align*}-22\end{align*}@$ और @$\begin{align*}+12\end{align*}@$ को जोड़िए।@$$\begin{align*}(-22) + (12) & = - [ \ |-22| - |12| \ ] \\ & = - [ \ 22 - 12 \ ] \\ & = -10\end{align*}@$$

CK-12 इंटरएक्टिव: पूर्णांकों का जोड़

 

 

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पूर्णांकों के योग के गुणधर्म

योग के ऐसे गुणधर्म हैं जो सभी पूर्णांकों पर लागू होते हैं। ये गुणधर्म पूर्ण संख्याओं के योग के गुणधर्मों के समान हैं जिन्हें हम पिछली कक्षाओं में पढ़ चुके हैं।

पूर्णांकों के योग का संवरक गुण (closure property)

किसी भी दो पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्णांक ही होता है। इसे योग का संवरक गुण कहते हैं। सामान्य रूप में, संवरक गुण कहता है कि किसी भी दो पूर्णांकों का योग एक अद्वितीय पूर्णांक होता है। 

अतः यदि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ कोई भी दो पूर्णांक हैं, तो @$\begin{align*}(a+b)\end{align*}@$ भी एक पूर्णांक है।

सत्यापन:

इस गुणधर्म को सत्यापित करने के लिए, निम्न उदाहरणों पर विचार करें: 

• @$\begin{align*}+14 + (+6) = +20,\end{align*}@$ जो कि एक पूर्णांक है। 
• @$\begin{align*}+4 + (-15) =-11, \end{align*}@$ जो कि एक पूर्णांक है। 
• @$\begin{align*}-3 + (-18) =-21, \end{align*}@$ जो कि एक पूर्णांक है। 
• @$\begin{align*}-3 + (+15) =+12, \end{align*}@$ जो कि एक पूर्णांक है। 

पूर्णांकों के योग का क्रमविनिमेय गुण (commutative property)

दो पूर्णांकों को जोड़ने का क्रम बदलने पर परिणाम नहीं बदलता। इसे योग का क्रमविनिमेय गुण कहते हैं।

यदि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ कोई भी दो पूर्णांक हैं, तो@$$\begin{align*}a+b = b+a\end{align*}@$$सत्यापन: 

इसे सत्यापित करने के लिए, निम्न उदाहरणों पर विचार करें।

• @$\begin{align*}+6 + (+2) = +2 + (+6) = +8\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}+2 + (-7) = -7 + (+2) = -5\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}-11 + (-4) = -4 + (-11) = -15\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}-1 + (+6) = (+6) + (-1) = +5\end{align*}@$ 

पूर्णांकों के योग का साहचर्य गुणधर्म (associative property)

तीन या अधिक पूर्णांकों को समूहित करने (जोड़ने) का तरीका बदलने पर भी योग नहीं बदलता। इसे योग का साहचर्य गुणधर्म कहते हैं। परिणाम हमेशा समान पूर्णांक होगा। 

यदि @$\begin{align*}a,\end{align*}@$ @$\begin{align*}b\end{align*}@$ और @$\begin{align*}c\end{align*}@$ तीन पूर्णांक हैं, तो@$$\begin{align*}a + (b+c) = (a+b)+c\end{align*}@$$सत्यापन:  

इस गुणधर्म को सत्यापित करने के लिए, निम्न व्यंजकों (expressions) पर विचार करें।

• @$\begin{align*}+16 + [ \ (+8) + (-10) \ ] = [ \ (+16)+(+8) \ ] + (-10) = +14\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}-25 + [ \ (-11) +(+8) \ ] = [ \ (-25) +(-11) \ ] + (+8) = -28\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}(-6) + [ \ (-5) + (-4) \ ] = [ \ (-6) +(-5) \ ] + (-4) = - 15\end{align*}@$ 

योग के तत्समक का अस्तित्व (additive identity)

किसी भी पूर्णांक में शून्य जोड़ने पर परिणाम वही पूर्णांक मिलता है। शून्य को योग का योज्य तत्समक कहते हैं, तथा इसे योग का तत्समक अवयव (identity element) भी कहते हैं। किसी संख्या और शून्य का योग वही संख्या होता है। इसे योग का सर्वसमिका गुणधर्म भी कहा जाता है।

यदि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ एक पूर्णांक है, तो@$$\begin{align*}a+0 = a = 0+a\end{align*}@$$सत्यापन: हमारे पास,  

• @$\begin{align*}0 + (+2) = +2 = (+2) +0\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}(-6 )+ 0 = -6 = 0 + (-6)\end{align*}@$ 

योज्य प्रतिलोम का अस्तित्व (additive inverse)

किसी भी पूर्णांक और उसके योज्य प्रतिलोम का योग शून्य होता है। ऊपर सीखा कि शून्य को योग का तत्समक अवयव भी कहते हैं। अतः यह कहा जा सकता है कि किसी भी पूर्णांक और उसके योज्य प्रतिलोम का योग तत्समक अवयव है। इसे योग का प्रतिलोम गुणधर्म कहते हैं। प्रत्येक पूर्णांक @$\begin{align*}a\end{align*}@$ के लिए कोई पूर्णांक @$\begin{align*}b\end{align*}@$ ऐसा होता है कि@$$\begin{align*}a+b =0 = b+a\end{align*}@$$उपर्युक्त गुणधर्म को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम या विपरीत कहलाते हैं। @$\begin{align*}a\end{align*}@$ का योज्य प्रतिलोम @$\begin{align*}-a\end{align*}@$ लिखा जाता है।

सत्यापन: हमारे पास,  

• @$\begin{align*}-2 + (+2) = +2 + (-2) = 0\end{align*}@$ 
• @$\begin{align*}+6 + (-6) = -6 + (+6) = 0\end{align*}@$ 

अतः, किसी भी पूर्णांक @$\begin{align*}a\end{align*}@$ के लिए@$$\begin{align*}-(-a) = a\end{align*}@$$टिप्पणी: 0 ही एकमात्र पूर्णांक है जो अपने आप का विपरीत है।  

CK-12 इंटरएक्टिव - पूर्णांकों का जोड़: बोर्ड गेम

 

 

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पूर्णांकों का घटाव

पूर्णांकों के मामले में, किसी संख्या से, जैसे 5 से, किसी दूसरी संख्या, जैसे -8, को घटाने के लिए हम 5 में 8 (जो -8 का योज्य प्रतिलोम है) जोड़ते हैं।

अतः, यदि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ दो पूर्णांक हैं, तो @$\begin{align*}b\end{align*}@$ को @$\begin{align*}a\end{align*}@$ से घटाने का अर्थ है कि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ में @$\begin{align*}b\end{align*}@$ के योज्य प्रतिलोम को जोड़ा जाए, अर्थात्@$$\begin{align*}a - b = a + (-b)\end{align*}@$$5) @$\begin{align*}-3\end{align*}@$ से @$\begin{align*}5\end{align*}@$ को घटाइए।

@$$\begin{align*}-3 - (5) & = -3 + (-5) \qquad [ \ \text{5 का योज्य प्रतिलोम } -5 \text{ है}\ ] \\ & = -8\end{align*}@$$

CK-12 इंटरएक्टिव: पूर्णांकों का घटाव

 

 

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पूर्णांकों के घटाव के गुणधर्म    

पूर्णांकों के घटाव का संवरक गुण

किसी भी दो पूर्णांकों के अंतर का परिणाम सदैव एक पूर्णांक होता है। इसे घटाव का संवरक गुण कहते हैं। सामान्य रूप में, संवरक गुण कहता है कि किसी भी दो पूर्णांकों का अंतर एक अद्वितीय पूर्णांक होता है। 

अतः, यदि @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ दो पूर्णांक हैं, तो @$\begin{align*}(a-b)\end{align*}@$ भी एक पूर्णांक है।

सत्यापन: इस गुणधर्म को सत्यापित करने के लिए, निम्न उदाहरणों पर विचार करें।  

• @$\begin{align*}+12 - (+8) = + 12 + [ \ \text{+8 का योज्य प्रतिलोम}\ ]\end{align*}@$

                @$\begin{align*}= + 12 + (-8) = +4, \end{align*}@$जो एक पूर्णांक है 

• @$\begin{align*}-32 - (-12) = -32 + [ \ \text{-12 का योज्य प्रतिलोम}\ ]\end{align*}@$

               @$\begin{align*}= -32 + (+12) = -20, \end{align*}@$जो एक पूर्णांक है 

• @$\begin{align*}-18 - (+8) = -18 + [ \ \text{+8 का योज्य प्रतिलोम}\ ]\end{align*}@$

                @$\begin{align*}= -18 + (-8) = -26, \end{align*}@$ जो एक पूर्णांक है 

क्रमविनिमेय गुण

पूर्णांकों का घटाव क्रमविनिमेय नहीं होता। अर्थात, किसी भी दो पूर्णांकों @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ के लिए@$$\begin{align*}a - b \neq b-a\end{align*}@$$सत्यापन: 

इसे सत्यापित करने के लिए, निम्न उदाहरण पर विचार करें: 

@$$\begin{align*}& -62 - (+18) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{और} \qquad && + 18 - (-62) \\ & = -62 + [ \ \text{+18 का योज्य प्रतिलोम} \ ] && = + 18 + [ \ \text{-62 का योज्य प्रतिलोम}\ ] \\ & = -62 +(- 18) && = + 18 + (+62) \\ & = -80 && = + 80\end{align*}@$$@$\begin{align*}\therefore \qquad - 62 - (+18) \neq + 18 - (62) \end{align*}@$ 

साहचर्य गुण

पूर्णांकों का घटाव साहचर्य नहीं होता। अर्थात, किसी भी तीन पूर्णांकों @$\begin{align*}a,\end{align*}@$ @$\begin{align*}b\end{align*}@$ और @$\begin{align*}c\end{align*}@$ के लिए @$$\begin{align*}(a- b) - c \neq a - (b - c)\end{align*}@$$सत्यापन:  

इसे सत्यापित करने के लिए, निम्न उदाहरण पर विचार करें: @$$\begin{align*}& [(+4) - (+2) ] - (-3) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{और} && (+4)- [(+2) - (-3) ] \\ & = [(+4) + (\text{+2 का योज्य प्रतिलोम}) ] - (-3) && = (+4) - [(+2) + (\text{-3 का योज्य प्रतिलोम})] \\ & = [(+4) + (-2) ] - (-3) && = (+ 4) - [(+ 2)+ (+3) ] \\ & = (+2) - (-3) && = (+4) - (+5) \\ & = (+2) + (\text{-3 का योज्य प्रतिलोम}) && = (+4)+ (\text{+5 का योज्य प्रतिलोम}) \\ & = (+2) + (+3) && = (+4) + (-5) \\ & = +5 && = -1\end{align*}@$$@$\begin{align*}\therefore \qquad [(+4) - (+2) ] - (-3) \neq (+4)- [(+2) - (-3) ] \end{align*}@$ 

दाएँ तत्समक (Right identity) का अस्तित्व

पूर्णांक 0 दाएँ तत्समक है। अर्थात, किसी भी पूर्णांक @$\begin{align*}a\end{align*}@$ के लिए @$$\begin{align*}a- 0= a\end{align*}@$$सत्यापन:  

इसे जाँचने के लिए, निम्न उदाहरण देखें: @$$\begin{align*}(-2) - 0 = -2\end{align*}@$$

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जोड़ और घटाव से संबंधित व्यंजकों का सरलीकरण

6) मान ज्ञात कीजिए: @$\begin{align*}\frac{3}{5} + \frac{10}{3}- \frac{11}{15} + \frac{3}{5} - \frac{4}{3} \end{align*}@$

सबसे पहले, हरों (denominator) 5, 3, 15, 5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (lcm) ज्ञात करें। 

@$\begin{align*}\text{लघुत्तम समापवर्त्य }(5, 3, 15) = 15.\end{align*}@$

अब प्रत्येक भिन्न को इसी लघुत्तम समापवर्त्य , अर्थात 15, हर के रूप में व्यक्त करते हुए, हमें मिलता है: @$$\begin{align*}\frac{3}{5} + \frac{10}{3}- \frac{11}{15} + \frac{3}{5} - \frac{4}{3} & = \left( \frac{3}{5} + \frac{10}{3} + \frac{3}{5} \right) + \left( - \frac{11}{15} - \frac{4}{3} \right) \vphantom{\frac{2}{\frac{2}{2}}} \\ & = \left\{ \frac{(3 \cdot 3) + (10 \cdot 5) + (3 \cdot 3) }{15} \right\} + \left( \frac{-11-20}{15} \right) \vphantom{\frac{2}{\frac{2}{2}}} \\ & = \left( \frac{9+50+9}{15}\right) + \left( - \frac{31}{15} \right) \vphantom{\frac{2}{\frac{2}{2}}} \\ & = \frac{68- 31}{15} \vphantom{\frac{2}{\frac{2}{2}}} \\ & = \frac{37}{15} \end{align*}@$$

व्यंजकों को सरल करने के चरण (steps): जोड़ और घटाव

जोड़ और घटाव से संबंधित व्यंजकों को सरल करने के लिए निम्न चरणों का पालन करते हैं:

चरण 1: उस व्यंजक को लिखिए जिसका मान निकालना है।

चरण 2: सभी धनात्मक पदों को साथ रखकर उनका जोड़ कीजिए।

चरण 3: सभी ऋणात्मक पदों को साथ रखकर उनका जोड़ कीजिए।

चरण 4: चरण 2 और 3 में प्राप्त दोनों योगों के निरपेक्ष मानों का अंतर ज्ञात कीजिए।

चरण 5: चरण 4 के परिणाम को उस योग का चिह्न दीजिए जिसका निरपेक्ष मान बड़ा है। 

CK-12 इंटरएक्टिव - पूर्णांकों का जोड़ और घटाव: डाइविंग डेप्थ्स

फातिमा स्कूबा डाइविंग सीख रही है। वह समुद्र में अलग-अलग गहराइयों पर तैरकर प्रयोग कर रही है। यदि शून्य पानी की पृष्ठ (Surface) है, तो वह 5 फीट नीचे से शुरू करती है और फिर 12 फीट और नीचे गोता लगाती है। वह पृष्ठ से कितनी नीचे है?

उत्तर निकालने में मदद के लिए इंटरएक्टिव में गोताखोर और संख्या रेखा (number line) का प्रयोग करें। 

 

 

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पूर्णांकों का जोड़ और घटाव - उदाहरण

उदाहरण 1

निम्न पूर्णांकों को जोड़िए

i. 1673 और 4896

ii. -7812 और -2268

i. दोनों पूर्णांक धनात्मक हैं। समान चिह्न वाले पूर्णांकों के योग के नियम का प्रयोग करते हुए, हमें मिलता है: @$$\begin{align*}1673 + 4896 & = [ \ |1673| + |4896|\ ] \\ & = [ \ 1673 + 4896 \ ] \\ & = 6569 \\ \therefore \quad 1673 + 4896 & = 6569\end{align*}@$$ii. दोनों पूर्णांक ऋणात्मक हैं। समान चिह्न वाले पूर्णांकों के योग के नियम का प्रयोग करते हुए, हमें मिलता है: @$$\begin{align*}(-7812) + (-2268) & = [ \ | 7812| + |2268| \ ] \\ & = - [ \ 7812 + 2268 \ ] \\ & = -10,080\end{align*}@$$

उदाहरण 2

पूर्णांकों का जोड़ कीजिए

i. -359 और 876

ii. -6219 और 5696  

ये पूर्णांक भिन्न चिह्नों के हैं, इसलिए इन्हें जोड़ने के लिए उनके निरपेक्ष मानों का अंतर निकालते हैं और बड़ा निरपेक्ष मान रखने वाले योज्य का चिह्न परिणाम को देते हैं। 

i. @$\begin{align*}(-359) + 876 & = [ \ |876| - |-359| \ ] \end{align*}@$

                           @$\begin{align*}& = [ \ 876 - 359 \ ] \\ & = 517\end{align*}@$

ii. @$\begin{align*}(-6219) + (5696) = [ \ |-6219|- |5696|\ ] \end{align*}@$

                                   @$\begin{align*}& = - [ \ 6219 - 5696 \ ] \\ & = -523\end{align*}@$

उदाहरण 3

पूर्णांकों को सरल कीजिए: 

i. @$\begin{align*}(-98437) + 24969\end{align*}@$

ii. @$\begin{align*}86381 + (-73789)\end{align*}@$

i. यहाँ, -98437 का निरपेक्ष मान 24969 के निरपेक्ष मान से बड़ा है। इसलिए 98437 में से 24969 घटाकर परिणाम को ऋणात्मक चिह्न देते हैं। 

@$$\begin{align*}\therefore \quad (-98437) + 24969 & = - (98437 + 24969) \\ & = - 73 \ 468\end{align*}@$$ii. यहाँ, 86381 का निरपेक्ष मान -73789 के निरपेक्ष मान से बड़ा है। इसलिए 86381 में से 73789 घटाकर परिणाम को धनात्मक चिह्न देते हैं। @$$\begin{align*}\therefore \quad 86381 + (-73789) & = (86381 - 73789) \\ & = 12592\end{align*}@$$

उदाहरण 4

निम्न व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए:

i. @$\begin{align*}536 + (-56) + (-82) + (-9) + 84\end{align*}@$

ii. @$\begin{align*}-62 + (-4) + 54 + (-13) + (-678) + 830\end{align*}@$

i. हमारे पास, @$$\begin{align*}& 536 + (-56) + (-82) + (-9) + 84 \\ & =(536 + 84) + [ \ (-56) + (-82) + (-9) \ ] \\ & = 620 + (-147) \\ & = + 473 = 473\end{align*}@$$ii. हमारे पास,   @$$\begin{align*}& (-62) + (-4) + 54 + (-13) + (-678) + 830 \\ & = (830 + 54) + [ \ (-62) + (-4) + (-13) + (-678) \ ] \\ & = 884 + (- 757) \\ &= 127\end{align*}@$$

उदाहरण 5

निम्न व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: @$$\begin{align*}-19 + (-67) - (-82) + (-2) \end{align*}@$$

हमारे पास, @$$\begin{align*}& -19 + (-67) - (-82) + (-2) \\ & = -19 - 67 + 82 - 2 \\ & = (-19 - 67 - 2) + 82 \\ & = -88 + 82 \\ & = -6\end{align*}@$$

उदाहरण 6

यदि @$\begin{align*}\triangle\end{align*}@$ पूर्णांकों के लिए एक संक्रिया है, ऐसी कि पूर्णांकों @$\begin{align*}a\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ के लिए@$$\begin{align*}a \triangle b = a - b - (-5) \end{align*}@$$तो मान ज्ञात कीजिए:

i. @$\begin{align*}(-3 ) \triangle (-4)\end{align*}@$

ii. @$\begin{align*}3 \triangle (-5)\end{align*}@$

क्योंकि @$\begin{align*}a \triangle b = a - b - (-5), \end{align*}@$ अतः

i. @$\begin{align*}a\end{align*}@$ की जगह @$\begin{align*}-3\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ की जगह @$\begin{align*}-4\end{align*}@$ रखने पर:   @$$\begin{align*}(-3) \triangle (-4) & = (-3) - (-4) - (-5) \\ & = -3 + 4 + 5 \\ & = -3 + 9 \\ & = 6\end{align*}@$$ii. @$\begin{align*}a\end{align*}@$ की जगह @$\begin{align*}3\end{align*}@$ और @$\begin{align*}b\end{align*}@$ की जगह @$\begin{align*}-5\end{align*}@$ रखने पर:  @$$\begin{align*}3 \triangle (-5) & = 3 - (-5) - (-5) \\ & = 3 + 5 + 5 = 13\end{align*}@$$

उदाहरण 7

मंगलवार को शाम 6 बजे ताप 15°C था। आधी रात तक ताप 6 अंश गिर गया। अगले दिन, उसी समय ताप 18°C था और आधी रात तक 8 अंश गिर गया। आधी रात को किस दिन ताप अधिक था?

हमारे पास, 

मंगलवार को आधी रात का ताप @$\begin{align*}= 15^\circ \ \text{C} - 6^\circ \ \text{C} = 9^\circ \ \text{C}. \end{align*}@$

बुधवार को आधी रात का ताप @$\begin{align*}= 18^\circ - 8^\circ = 10^\circ. \end{align*}@$

@$\begin{align*}10^\circ \ \text{C} > 9^\circ \ \text{C}. \end{align*}@$

अतः, बुधवार को आधी रात का ताप अधिक था। 

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पूर्णांकों का जोड़ और घटाव - पुनरावृत्ति प्रश्न

1. योग ज्ञात कीजिए: 

1. -66 और 38
2. -25 और 12
3. 19 और -26
4. -56 और -89
5. -25 और -46
6. 98 और -32

2. निम्न प्रत्येक में पहले पूर्णांक को दूसरे से घटाइए: 

1. 345, -23
2. 231, -98
3. -45, 89
4. -356, -76
5. -56, 86
6. -972, 345

3. मान ज्ञात कीजिए:

1. @$\begin{align*}32 - (-27) -24 + (-14)\end{align*}@$ 
2. @$\begin{align*}-27 - (-45) -26 + (-28)\end{align*}@$ 
3. @$\begin{align*}42 + (-31) - (-72) +(-12)\end{align*}@$ 
4. @$\begin{align*}-114 - [ \ - 62 + (-75) \ ]\end{align*}@$ 
5. @$\begin{align*}[ \ -24 + (-14) \ ] + [ \ -28 - (-36) \ ]\end{align*}@$ 

4. -3642 और 1128 के योग को 2134 और -1432 के योग से घटाइए। 

5. जेक ने बैंक से ₹300 और एक मित्र से ₹175 उधार लिए। जेक पर कुल कितना कर्ज है? 

6. दोपहर में, सृष्टि ने मौसम रिपोर्ट का एक भाग सुना। मौसम विज्ञानी ने कहा कि जम्मू में ताप सुबह के -1°C से 16°C बढ़ गया। दोपहर का ताप क्या था?

7. दोपहर 12 बजे ताप 19°C था। तूफ़ान आने से शाम 7 बजे तक ताप 14 अंश गिर गया। शाम 7 बजे ताप कितना था?

8. एमी ने अपने माता-पिता से ₹165 उधार लिए। उसने ₹73 वापस कर दिए। अब वह कितनी राशि और देनी है? 

9. जीना पहाड़ पर चढ़ने गई। वह समुद्र तल से 5823 फीट ऊपर जाकर रात में कैंप पर रुकी। अगले दिन वह 1,725 फीट नीचे उतरी। उसकी वर्तमान स्थिति ज्ञात कीजिए। 

10. एक विमान अशांति से बचने के लिए 683 मीटर की उच्चता से 172 मीटर नीचे उतरा। अवरोह के बाद विमान 458 मीटर ऊपर चढ़ा। अब विमान किस उच्चता पर उड़ रहा है?